Question

由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{a_n}，a_n=f（n）．若函數(shù)y=f^-1（x）能確定數(shù)列{b_n}，bn=f-1(n)，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“反數(shù)列”．
（1）若函數(shù)f(x)=2

x

確定數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n}，求b_n．；
（2）對（1）中的{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)（λ為正整數(shù)），若數(shù)列{c_n}的反數(shù)列為{d_n}，{c_n}與{d_n}的公共項組成的數(shù)列為{t_n}（公共項t_k=c_p=d_q，k，p，q為正整數(shù)），求數(shù)列{t_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出函數(shù)f(x)=2

x

的反函數(shù)，取x為n則數(shù)列{b_n}的通項公式可求；
（2）把（1）中求出的b_n的通項公式代入不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)，化簡后求由單調(diào)性求出

1

2

loga(1-2a)的范圍，解對數(shù)不等式求得a的取值范圍．
（3）分λ為奇偶數(shù)求出{d_n}，{c_n}，由c_p=d_q得到p，q的關(guān)系，再結(jié)合{c_n}?{d_n}求得數(shù)列{t_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）由f(x)=2

x

，得
f-1(x)=

x2

4

(x≥0)，則bn=

n2

4

(n∈N*)；
（2）把bn=

n2

4

代入不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
則不等式化為：

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
設(shè)Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
∵Tn+1-Tn=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，∴{T_n}單調(diào)遞增，
則（T_n）_min=T₁=1．因此

1

2

loga(1-2a)＜1，即log_a（1-2a）＜2．
∵1-2a＞0，∴a＜

1

2

，
由

0＜a＜ 1 2 1-2a＞a2

，得0＜a＜

2

-1；
（3）當λ為奇數(shù)時，c_n=2n-1，dn=

1

2

(n+1)．
由2p-1=

1

2

(q+1)，則q=4p-3，
即{c_n}?{d_n}，因此t_n=2n-1，
∴Sn=n2．
當λ為偶數(shù)時，cn=3n，d_n=log₃n．
由3^p=log₃q得q=33p，即{c_n}?{d_n}，因此tn=3n，
∴Sn=

3

2

(3n-1)．

點評：本題是新定義題，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查了函數(shù)反函數(shù)的求法，訓(xùn)練了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列和的最值，訓(xùn)練了對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．