Question

（2012•順河區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=ln

1

x

-ax2+x(a＞0)．
（1）若f（x）是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（1）先由f（x），求出f′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）是單調(diào)函數(shù)，能求出a的取值范圍．
（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)a∈（0，

1

8

）時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)x₁和極大值點(diǎn)x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．求得f（x₁）+f（x₂）=-ln（x₁x₂）+

1

2

（x₁+x₂）+1=ln（2a）+

1

4a

+1．令g（a）=ln（2a）+

1

4a

+1，a∈（0，

1

8

]，由此能夠證明f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．…（2分）
令△=1-8a．
當(dāng)a≥

1

8

時(shí)，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．…（4分）
當(dāng)0＜a＜

1

8

時(shí)，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個(gè)不相等的正根x₁，x₂，
不妨設(shè)x₁＜x₂，
則當(dāng)x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＞0，
這時(shí)f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
綜上，a的取值范圍是[

1

8

，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)且僅當(dāng)a∈（0，

1

8

）時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)x₁和極大值點(diǎn)x₂，
且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-ax12+x₁-lnx₂-ax22+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-

1

2

（x₁-1）-

1

2

（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+

1

2

（x₁+x₂）+1=ln（2a）+

1

4a

+1．…（9分）
令g（a）=ln（2a）+

1

4a

+1，a∈（0，

1

8

]，
則當(dāng)a∈（0，

1

8

）時(shí)，g′（a）=

1

a

-

1

4a2

=

4a-1

4a2

＜0，g（a）在（0，

1

8

）單調(diào)遞減，
所以g（a）＞g（

1

8

）=3-2ln2，即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．