Question

函數(shù)f（x）=x²+cosx在[-

π

2

，π]上的最小值為（　�。�

• A．1
• B．

  5

  2

• C．3
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：f′（x）=2x-sinx，令g（x）=2x-sinx，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由g（0）=0可知g（x）在[-

π

2

，0]，[0，π]上的符號，從而可判斷f（x）的單調(diào)性及極值情況，根據(jù)極值即可求得最小值．

解答：解：f′（x）=2x-sinx，
令g（x）=2x-sinx，則g′（x）=2-cosx，
當(dāng)x∈[-

π

2

，π]時，g′（x）=2-cosx＞0，
所以g（x）在[-

π

2

，π]上單調(diào)遞增，
又g（0）=0，所以當(dāng)-

π

2

≤x＜0時，g（x）＜0，當(dāng)0＜x≤π時，g（x）＞0，
故f（x）[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減，在[0，π]上單調(diào)遞增，
所以x=0是f（x）的唯一極小值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn)，
所以f（x）在[-

π

2

，π]上的最小值為f（0）=1．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬中檔題，為了解決問題的需要，有時要多次求導(dǎo)，已判斷函數(shù)的單調(diào)性．