P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為左右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面積;
(2)求P點(diǎn)的坐標(biāo).
考點(diǎn):橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由橢圓的定義可得m+n=2a=10,由余弦定理可得:82=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=100-3mn,解得mn.再利用三角形的面積計算公式即可得出.
(2)設(shè)P(x,y),可得kPF1=
y
x+4
,kPF2=
y
x-4
,由于∠F1PF2=60°.可得
y
x+4
-
y
x-4
1+
y2
x2-16
=±tan60°=±
3
,化為-8y=±
3
(x2+y2-16),與
x2
25
+
y2
9
=1
聯(lián)立解得即可.
解答: 解:(1)由橢圓
x2
25
+
y2
9
=1可得a=5,b=3,c=4.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,
則m+n=2a=10,
由余弦定理可得:82=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=100-3mn,
解得mn=12.
∴△F1PF2的面積S=
1
2
mnsin60°
=3
3

(2)設(shè)P(x,y),則
x2
25
+
y2
9
=1
.F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0).
kPF1=
y
x+4
,kPF2=
y
x-4
,
∵∠F1PF2=60°.
y
x+4
-
y
x-4
1+
y2
x2-16
=±tan60°=±
3
,
化為-8y=±
3
(x2+y2-16),與
x2
25
+
y2
9
=1
聯(lián)立解得:
5
13
4
3
3
4
)
,
5
13
4
,-
3
3
4
)
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、余弦定理、三角形的面積計算公式、到角公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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5
8
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x2
9
+
y2
4
=1上的點(diǎn),則
1
m2
+
1
n2
的最小值是
 

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3
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