P為橢圓
+
=1上一點(diǎn),F(xiàn)
1,F(xiàn)
2為左右焦點(diǎn),若∠F
1PF
2=60°.
(1)求△F
1PF
2的面積;
(2)求P點(diǎn)的坐標(biāo).
考點(diǎn):橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)|PF
1|=m,|PF
2|=n,由橢圓的定義可得m+n=2a=10,由余弦定理可得:8
2=m
2+n
2-2mncos60°=(m+n)
2-3mn=100-3mn,解得mn.再利用三角形的面積計算公式即可得出.
(2)設(shè)P(x,y),可得
kPF1=
,
kPF2=
,由于∠F
1PF
2=60°.可得
=±tan60°=
±,化為-8y=
±(x
2+y
2-16),與
+=1聯(lián)立解得即可.
解答:
解:(1)由橢圓
+
=1可得a=5,b=3,c=4.
設(shè)|PF
1|=m,|PF
2|=n,
則m+n=2a=10,
由余弦定理可得:8
2=m
2+n
2-2mncos60°=(m+n)
2-3mn=100-3mn,
解得mn=12.
∴△F
1PF
2的面積S=
mnsin60°=
3.
(2)設(shè)P(x,y),則
+=1.F
1(-4,0),F(xiàn)
2(4,0).
∴
kPF1=
,
kPF2=
,
∵∠F
1PF
2=60°.
∴
=±tan60°=
±,
化為-8y=
±(x
2+y
2-16),與
+=1聯(lián)立解得:
(±,),
(±,-).
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、余弦定理、三角形的面積計算公式、到角公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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