Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，且
與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數(shù)列，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)橢圓C的方程根據(jù)離心率和點(diǎn)M求得a和b，進(jìn)而可得答案．
（2）設(shè)直線l的方程為，代入（1）中所求的橢圓C的方程，消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進(jìn)而可得到x₁+x₂和x₁•x₂的表達(dá)式，根據(jù)F₁A|+|BF₁|=2|AB|求得k，再判斷直線l⊥x軸時(shí)，直線方程不符合題意．最后可得答案．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，（其中a＞b＞0）
由題意得，且，解得a²=4，b²=2，c²=2，
所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)直線l的方程為，代入橢圓C的方程，
化簡(jiǎn)得，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
由于|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數(shù)列，則|F₁A|+|BF₁|=2|AB|．
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，所以.=，解得k=±1；
當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，，代入得y=±1，|AB|=2，不合題意．
所以，直線l的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與其他曲線的關(guān)系．要求學(xué)生綜合掌握如直線、橢圓、拋物線等圓錐曲線的基本性質(zhì)．