Question

（本題滿分12分）

已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；

（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi).        

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                              

∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓,設(shè)其方程為

,  則.∴.

∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為. …………………………………4分

 (2)由 消去化簡整理得：

設(shè)，，則……………………………………6分

△.  ①

由 消去化簡整理得：.

設(shè)，則,

△.  ② ……………………………………8分

∵，∴，即，

∴.∴或.解得或……… 10分                                                                  

當(dāng)時(shí),由①、②得  ，

∵Z,，∴的值為 ，，;

當(dāng)，由①、②得  ，

∵Z,，∴.

∴滿足條件的直線共有9條．………………………………………………12分

【解析】略