【題目】將 顆珠子分成 堆.若通過每次從其中 堆中各取走一顆珠子,而最后取完,則稱這樣的分法為“和諧的”.試給出和諧分法的充分必要條件,并加以證明.
【答案】見解析
【解析】
分法為和諧的充分必要條件是最多一堆珠子的顆數(shù)不超過.
下面設(shè)堆珠子的顆數(shù)分別為 ,且.
首先,用反證法證明必要性.
若分法是和諧的,則把 所對應(yīng)的珠子取完至少要次,這次每次均要取走 顆珠子.如果,即,把所對應(yīng)的一堆取完時,需取走的珠子顆數(shù)大于珠子的總數(shù),而這是不可能的.因此,最多一堆珠子的顆數(shù)不能超過.
其次,用數(shù)學(xué)歸納法證明充分性.
當(dāng)時,滿足的分法只能是 .顯然,這樣的分法是和諧的.
假設(shè)時,滿足的分法是和諧的.
當(dāng)時,滿足,且分法是不和諧的,
則分法也是不和諧的.
由歸納假設(shè)及必要性的證明知.
因為,
所以,.
若,則.
故,這是不可能的.
因此,當(dāng)時,滿足分法也是和諧的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)了一批高精尖的儀器,為確保儀器的可靠性,工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性,毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為,且每臺儀器是否可靠相互獨立.
(1)當(dāng),現(xiàn)抽取4臺儀器,安排一位專家進(jìn)行檢測,記檢測結(jié)果可靠的儀器臺數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)為進(jìn)一步提高出廠儀器的可靠性,工廠決定每臺儀器都由三位專家進(jìn)行檢測,只有三位專家都檢驗儀器可靠,則儀器通過檢測.若三位專家檢測結(jié)果都為不可靠,則儀器報廢.其余情況,儀器需要回廠返修.?dāng)M定每臺儀器檢測費用為100元,若回廠返修,每臺儀器還需要額外花費300元的維修費.現(xiàn)以此方案實施,且抽檢儀器為100臺,工廠預(yù)算3.3萬元用于檢測和維修,問費用是否有可能會超過預(yù)算?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】針對2019年“雙十—”網(wǎng)上購物消費情況,規(guī)定:雙十一當(dāng)天購物消費金額不低于600元的網(wǎng)購者為“剁手黨”,低于600元的網(wǎng)購者為“理智消費者”.某興趣小組對雙十一當(dāng)天網(wǎng)購者隨機抽取了100名進(jìn)行抽樣分析,得到如下統(tǒng)計圖表(單位:人):
女性 | 男性 | 總計 | |
剁手黨 | 50 | 5 | 55 |
理智購物者 | 30 | 15 | 45 |
總計 | 80 | 20 | 100 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)回答能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為“剁手黨”與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從抽取的80名女性網(wǎng)購者中按照分層抽樣的方法選出8人,然后從選出8人中隨機選出3人進(jìn)行調(diào)查,選出的剁手黨人數(shù)為2時的概率.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | ||
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是( )
A.是的極大值點
B.函數(shù)有且只有1個零點
C.存在正實數(shù),使得成立
D.對任意兩個正實數(shù),,且,若,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形(如圖陰影部分)后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫),設(shè)容器的高為,容積為.
(1)寫出函數(shù)的解析式,并求出函數(shù)的定義域;
(2)求當(dāng)為多少時,容器的容積最大?并求出最大容積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外線同時運行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異),新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為20千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時,現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行,其中內(nèi)環(huán)投入列列車.
(1)寫出內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間(分鐘)分別關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時問之差距不超過1分鐘,問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?
(3)要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之和最小,問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象;
(2)寫出的單調(diào)區(qū)間;
(3)寫出在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】畢業(yè)季有位好友欲合影留念,現(xiàn)排成一排,如果:
(1)、兩人不排在一起,有幾種排法?
(2)、兩人必須排在一起,有幾種排法?
(3)不在排頭,不在排尾,有幾種排法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)若函數(shù)在上遞增,在上遞減,求實數(shù)的值.
(2)討論在上的單調(diào)性;
(3)若方程有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍,并證明.
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