Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|2x-4|
（1）求f（x）＜6的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥m²-3m的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）分當x≥2時、當2＞x＞-2時，當x≤-2時三種情況，分別去掉絕對值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（II）由函數(shù)f（x）的圖象求得f（x）=|x+2|+|2x-4|的最小值為4，可得 m²-3m≤4，由此求得m的范圍．

解答： 解：（I）由題設(shè)知：當x≥2時，不等式等價與x+2+2x-4＜6，即2≤x＜

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3

．
當2＞x＞-2時，不等式等價與x+2+4-2x＜6，即2＞x＞0．
當x≤-2時，不等式等價于-x-2+4-2x＜6，x無解．
綜上可得，滿足不等式的解是{x|0＜x＜

8

3

 }．
（II）由函數(shù)f（x）的圖象可得f（x）=|x+2|+|2x-4|的最小值為4，
則由題意可得 m²-3m≤4，解之得，-1≤m≤4．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．