（理科）函數(shù)y=x+
a
x
(a是常數(shù)，且a＞0)有如下性質(zhì)：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在(0，
a
]上是減函數(shù)，在[
a
，+∞)上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+
2b
x
（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判斷函數(shù)y=x2+
c
x2
（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（3）對(duì)函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
c
x2
（常數(shù)c＞0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函數(shù)的特例．判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只需寫(xiě)出結(jié)論，不要證明）．
分析：（1）因?yàn)?b＞0，x＞0，所以可用均值不等式求函數(shù)的值域，求出的值域與所給值域比較，即可求出b的值．
（2）先求函數(shù)的定義域，得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，計(jì)算f（-x），結(jié)果等于f（x），所以可判斷函數(shù)y=x2+
c
x2
為偶函數(shù)．
再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，先證明x＞0的單調(diào)性，設(shè)0＜x1＜x2，作差比較f（x2）與f（x1）的大小，得到當(dāng)
4c
≤x1＜x2時(shí)，f(x2)＞f(x1)，當(dāng)0＜x1＜x2≤
4c
，f(x2)＜f(x1)，所以函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
在[
4c
，+∞)上是增函數(shù)，f（x）在（0，
4c
]為減函數(shù)，當(dāng)x＜0，時(shí)，用同樣的方法證明．
（3）由（1）可推廣當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xn+
a
xn
的奇偶性和單調(diào)性，由（2）可推廣當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xn+
a
xn
的奇偶性和單調(diào)性，注意單調(diào)區(qū)間的根指數(shù)的規(guī)律即可
解答：解：（1）∵2b＞0，x＞0，∴
2b
x
＞0，∴y=x+
2b
x
≥2
x•
2b
x
=2
2b
，當(dāng)且僅當(dāng)x=
2b
x
，x2=2b時(shí)等號(hào)成立．
又∵函數(shù)的值域是[6，+∞），即y≥6，∴2
2b
=6，解得，b=long29．
（2）設(shè)f(x)=x2+
c
x2
，因?yàn)閤∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(-x)=(-x)2+
c
(-x)2
=x2+
c
x2
=f(x)，
∴函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
為偶函數(shù)．
設(shè)0＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=
x
2
2
+
c
x
2
2
-
x
2
1
-
c
x
2
1
=(
x
2
2
-
x
2
1
)(1-
c
x
2
1
x
2
2
)=(
x
 
1
-
x
 
2
)(x1+x2)
(x12x22-c )
x
2
1
x
2
2
．
當(dāng)
4c
≤x1＜x2時(shí)，f(x2)＞f(x1)，
∴函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
在[
4c
，+∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x1＜x2≤
4c
，f(x2)＜f(x1)，f（x）在（0，
4c
]為減函數(shù)，
設(shè)x1＜x2≤-
4c
，，則-x1＞-x2≥
4c
，因f(x)=x2+
c
x2
是偶函數(shù)，
∴f（x1）-f（x2）=f（-x1）-f（-x2）＞0，
∴函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
在(-∞，-
4c
]上是減函數(shù)，
同理可證，函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
在[-
4c
，0)上是增函數(shù)．
（3）可以推廣為研究函數(shù)y=xn+
a
xn
(常數(shù)a＞0，n是正整數(shù))的單調(diào)性．
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xn+
a
xn
在[
2na
，+∞)和(-∞，-
2na
]上是增函數(shù)，
在(0，
2na
]和[-
2na
，0)上是減函數(shù)；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xn+
a
xn
在[
2na
，+∞)和[-
2na
，0)上是增函數(shù)，
在(0，
2na
]和[-∞，-
2na
)上是減函數(shù)；
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查均值定理求函數(shù)的最小值，定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，均值定理要考慮成立的條件，定義證明奇偶性時(shí)，要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要把f（x2）與f（x1）的差分解成幾個(gè)因式的乘積的形式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理科）已知函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的實(shí)常數(shù)．
（1）若函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)，寫(xiě)出符合條件a的值；
（2）若當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x（1-x），且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3x+3-x，試研究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理科）已知函數(shù)y=f(x)，x∈R，對(duì)任意實(shí)數(shù)，x均有f(x)＜f(x+a)，a是正的實(shí)常數(shù)，下列結(jié)論中說(shuō)法正確的序號(hào)是
（3）（4）
（3）（4）
；
（1）f（x）一定是增函數(shù)；
（2）f（x）不一定是增函數(shù)，但滿足上述條件的所有f（x）一定存在遞增區(qū)間；
（3）存在滿足上述條件的f（x），但它找不到遞增區(qū)間；
（4）存在滿足上述條件的函數(shù)f（x），既有遞增區(qū)間又有遞減區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理科做）已知函數(shù)f（x）=x2-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)，函數(shù)g（x）=x2-alnx在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，判斷方程f（x）=2g（x）+m的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（bx）（其中0＜b＜1）的圖象C1與函數(shù)y=g（x）的圖象C2交于P、Q，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N．證明：曲線C1在點(diǎn)M處的切線與曲線C2在點(diǎn)N處的切線不平行．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（理科）函數(shù)y=x+
a
x
(a是常數(shù)，且a＞0)有如下性質(zhì)：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在(0，
a
]上是減函數(shù)，在[
a
，+∞)上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+
2b
x
（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判斷函數(shù)y=x2+
c
x2
（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（3）對(duì)函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
c
x2
（常數(shù)c＞0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函數(shù)的特例．判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只需寫(xiě)出結(jié)論，不要證明）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案