Question

9．已知數(shù)列{a_n}，其中a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n+4，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=2ⁿa_n+4兩邊同時除以${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$+$\frac{4}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，進而利用累加法計算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=2ⁿa_n+4，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$+$\frac{4}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，
對數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$}利用累加法計算可知，
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}$+4[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$]
=1+4[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$]，
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$•{1+4[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$]}．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．