Question

9．設函數(shù)f（x）=xe^a-x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4．
（1）求a，b的值；
（2）求證：f′（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2），建立方程組關系即可求a，b的值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可求證明．

解答 解：（1）∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f'（x）=（1-x）e^a-x+b．
依題設，$\left\{{\begin{array}{l}{f（2）=2e+2}\\{f'（2）=e-1}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{2{e^{a-2}}+2b=2e+2}\\{-{e^{a-2}}+b=e-1}\end{array}}\right.$，
解得a=2，b=e； 
（2）由（1）知f（x）=xe^2-x+ex．
∴f'（x）=e^2-x（1-x+e^x-1），
∵e^2-x＞0，
∴f'（x）與1-x+e^x-1同號．
令g（x）=1-x+e^x-1，
則g'（x）=-1+e^x-1．
∴當x∈（-∞，1）時，g'（x）＜0，g（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調遞減；  
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增．
故g（1）=1是g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的最小值，
從而g（x）＞0，x∈（-∞，+∞）．
綜上可知，f′（x）＞0．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合切線斜率建立方程關系以及利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．