Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且兩條漸近線與以點A（0，

2

）為圓心、1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個焦點與點A關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程．
（2）設(shè)直線l：y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩條漸近線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，可得雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．利用雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，可得a²=1，從而可求雙曲線C的方程．
（2）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的二次方程，進(jìn)而根據(jù)直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根求得m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的一條漸近線方程為y=kx，則kx-y=0．
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，
得：1=

|k×0- 2 |

k2+1

⇒k=±1
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x，
故設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
又雙曲線C的一個焦點為（

2

，0），
∴2a²=2，a²=1，
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等的實根．
∴

△＞0 2m 1-m2 ＜0且 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
∴實數(shù)m的取值范圍：1＜m＜

2

．

點評：本題以直線與圓的位置關(guān)系為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系解題的關(guān)鍵是將直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，從而確定m的范圍，屬于基礎(chǔ)題．