Question

已知a，b，c均為正數(shù)，證明：≥6，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號(hào)成立．

Answer 1

【答案】分析：證法一：兩次利用基本不等式放小，此處不用考慮等號(hào)成立的條件，因等號(hào)不成立不影響不等號(hào)的傳遞性．
證法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac與兩者之和用基本不等式放小，整體上只用了一次放縮法．其本質(zhì)與證法一同．
解答：證明：
（證法一）
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得①
所以②（6分）
故．
又③
所以原不等式成立．（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，③式等號(hào)成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，原式等號(hào)成立．（10分）
（證法二）
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac①
同理②（6分）
故③

所以原不等式成立．（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，（ab）²=（bc）²=（ac）²=3時(shí)，③式等號(hào)成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，原式等號(hào)成立．（10分）
點(diǎn)評(píng)：考查放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，本題在在用縮法時(shí)多次用到基本不等式，請(qǐng)讀者體會(huì)本題證明過程中不考慮等號(hào)是否成立的原理，并與利用基本不等式求最值再據(jù)最值成立的條件求參數(shù)題型比較．深入分析等號(hào)成立的條件什么時(shí)候必須考慮，什么時(shí)候可以不考慮．