Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx與g（x）=log4（a2x﹣ a），其中f（x）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）求函數(shù)g（x）的定義域；
（3）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為R，
∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數(shù)，
∴f（﹣x）=f（x）恒成立，
即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，
∴l(xiāng)og4 =2kx，即log4 =2kx，
∴42kx=4﹣x ， ∴2k=﹣1，即k=﹣
（2）解：由g（x）有意義得a2x﹣ ＞0，即a（2x﹣ ）＞0，
當(dāng)a＞0時，2x﹣＞ 0，即2x＞ ，∴x＞log2 ，
當(dāng)a＜0時，2x﹣ ＜0，即2x＜ ，∴x＜log2 ．
綜上，當(dāng)a＞0時，g（x）的定義域為（log2 ，+∞），
當(dāng)a＜0時，g（x）的定義域為（﹣∞，log2 ）
（3）解：令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣ x=log4（a2x﹣ ），
∴l(xiāng)og4 =log4（a2x﹣ ），即2x+ =a2x﹣ ，
令2x=t，則（1﹣a）t2+ at+1=0，，
∵f（x）與g（x）的圖象只有一個交點，
∴f（x）=g（x）只有一解，∴關(guān)于t的方程（1﹣a）t2+ at+1=0只有一正數(shù)解，
①若a=1，則 +1=0，t=﹣ ，不符合題意；
②若a≠1，且 ﹣4（1﹣a）=0，即a= 或a=﹣3．
當(dāng)a= 時，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解為t=﹣2，不符合題意；
當(dāng)a=﹣3時，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解為t= ，符合題意；
③若方程（1﹣a）t2+ at+1=0有一正根，一負(fù)根，則 ＜0，∴a＞1，
綜上，a的取值范圍是{a|a＞1或a=﹣3}．
【解析】（1）令f（-x）=f（x）恒成立，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)解出k，（2）令，對a進(jìn)行討論得出x的范圍，（3）令f（x）=g（x），使用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，令2x=t，則關(guān)于t的方程只有一正數(shù)解，對a進(jìn)行討論得出a的范圍.