Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)R），且，

（Ⅰ）若；

（Ⅱ）若，證明：；

（Ⅲ）若，求所有的正整數(shù)，使得對(duì)于任意，均有成立.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4），a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1），

a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）a₅=a₄－3="a" ；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）若0<a<1，則k=4m；，則k=2m；若a=2，則k="m." m∈N* 。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050709324503732568/SYS201305070933079905462237_DA.files/image003.png">

所以a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）

所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）

所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）

所以a₅=a₄－3=a       ……4分

（Ⅱ）證明：當(dāng)

所以，        ……6分

②當(dāng)

所以，

綜上，     ……8分

（Ⅲ）解：①若

因此，當(dāng)k=4m（m∈N*）時(shí)，對(duì)所有的n∈N*，成立 …10分

②若

因此，當(dāng)k=2m（m∈N*）時(shí)，對(duì)所有的n∈N*，成立 …12分

③若，

因此k=m（m∈N*）時(shí)，對(duì)所有的n∈N*，成立  ……13分

綜上，若0<a<1，則k=4m；，則k=2m；

若a=2，則k="m." m∈N*         ……14分

考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式，分段函數(shù)的概念。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，等比數(shù)列、等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容，已是高考必考內(nèi)容，其難度飄忽不定，有時(shí)突出考查求和問(wèn)題，如“分組求和法”、“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等，有時(shí)則突出涉及數(shù)列的證明題，如本題。本題解法中，注意通過(guò)研究滿(mǎn)足的條件，發(fā)現(xiàn)數(shù)列特征，確定得到數(shù)列的項(xiàng)所滿(mǎn)足的條件，具有一般性。