Question

4．（1）已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，設(shè)G，H為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，OG⊥OH（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$為定值；
（2）在（1）條件下，是否存在以O(shè)為圓心的定圓，使其與GH相切，若存在，寫出方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)G（ρ₁，θ），H（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），則（ρ₁cosθ）²+2（ρ₁sinθ）²=2，ρ₁²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．同理ρ₂²=$\frac{2}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$，利用$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$，即可證明結(jié)論；
（2）假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH，求出半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)G（ρ₁，θ），H（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），則（ρ₁cosθ）²+2（ρ₁sinθ）²=2，
∴ρ₁²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．
同理ρ₂²=$\frac{2}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$，
∴$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1+2}{2}$=$\frac{3}{2}$；
另解：當(dāng)OG，OH有一個(gè)不存在時(shí)，顯然有1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
設(shè)直線OH：y=kx，代入橢圓方程，可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\frac{1}{O{H}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1+2{k}^{2}}{2（1+{k}^{2}）}$，
將k換成-$\frac{1}{k}$，可得$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{2+{k}^{2}}{2（1+{k}^{2}）}$，
則$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{3+3{k}^{2}}{2+2{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH
∵OG²+OH²=GH²，∴$\frac{1}{O{H}^{2}}$+$\frac{1}{O{G}^{2}}$=$\frac{1}{{R}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴滿足條件的定圓方程為：x²+y²=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．