Question

求函數(shù)f（x）=x²-

1

x2

+2x+1的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），再求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x+2x^-3+2，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷合適的單調(diào)區(qū)間，即可得函數(shù)值域．

解答： 解：f（x）=x²-

1

x2

+2x+1，得x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
f′（x）=x2+

2

x3

+2，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立
∴y=f（x）在x∈（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，值域?yàn)椋?∞，+∞）
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，無論函數(shù)值取什么，都不改變函數(shù)值域?yàn)椋?∞，+∞）
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，+∞）

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到函數(shù)求值域時(shí)時(shí)，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求值域；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象；④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．