Question

甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為

2

3

，且各次投籃的結(jié)果互不影響．甲同學(xué)決定投5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過(guò)5次．
（1）求甲同學(xué)至少有4次投中的概率；
（2）求乙同學(xué)投籃次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專(zhuān)題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲同學(xué)至少有4次投中的概率P=P（x=4）+P（x=5）；
（2）由題意知x=1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答： 解：（1）設(shè)甲同學(xué)在5次投籃中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率為P，則
P=P（x=4）+P（x=5）=

C

4 5

(

2

3

)4(1-

2

3

)+

C

5 5

(

2

3

)5=

112

243

．                      …（4分）
（2）由題意ξ=1，2，3，4，5．
P（ξ=1）=

2

3

，P（ξ=2）=

1

3

×

2

3

=

2

9

，P（ξ=3）=

1

3

×

1

3

×

2

3

=

2

27

，P（ξ=4）=

1

3

×

1

3

×

1

3

×

2

3

=

2

81

，P（ξ=5）=(

1

3

)4=

1

81

．
ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5
P	2 3	2 9	2 27	2 81	1 81

…（8分）
ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

2

3

+2×

2

9

+3×

2

27

+4×

2

81

+5×

1

81

=

121

81

．   …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義，屬于中檔題．