Question

已知函數y=f（x）（x∈（0，2））的圖象是如圖所示的圓C的一段圓�。�現給出如下命題：
①f′（1）=0；
②f′（x）≥0；
③f′（x）為減函數；
④若f′（a）+f′（b）=0，則a+b=2．
其中所有正確命題的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：對于①根據導數的幾何意義，f′（1）表示函數f（x）在x=1處切線的斜率，由圖可知其正確性；對于②由于函數f（x）在區(qū)間（1，2）上是減函數，根據導數的符號與單調性的關系知②不正確；對于③根據導數的幾何意義，f′（x）表示函數f（x）在點（x，y）處切線的斜率，切線的斜率從正數→0→負數，且是漸漸變大的，從而進行判斷；對于④若f′（a）+f′（b）=0，說明點x=a與x=b關于直線x=1對稱，結合中點坐標公式可得結果．
解答：解：①根據導數的幾何意義，f′（1）表示函數f（x）在x=1處切線的斜率，由圖可知，函數f（x）在x=1處切線平行于x軸，故f′（1）=0，正確；
②由于函數f（x）在區(qū)間（1，2）上是減函數，故當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，故②不正確；
③根據導數的幾何意義，f′（x）表示函數f（x）在點（x，y）處切線的斜率，由圖可知，切線的斜率從正數→0→負數，且是漸漸變大的，故f′（x）為減函數，正確；
④若f′（a）+f′（b）=0，說明點x=a與x=b關于直線x=1對稱，由中點坐標公式得，則a+b=2，正確．
故答案為：①③④．
點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要熟練掌握導函數的圖象和性質．