【題目】在四棱錐中,底面是矩形, 平面, 是等腰三角形, 的一個三等分點(靠近點),的延長線交于點,連接.

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)求二面角的正切值

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析:I由線面垂直的性質(zhì)可得 ,由矩形的性質(zhì)可得,從而由線面垂直的判定定理可得平面,進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(II, , 分別為 , 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系分別求出平面與平面的一個法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得夾角余弦值,利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可得正切值.

試題解析(Ⅰ)證明:因為平面,所以

又因為底面是矩形,所以

又因為,所以平面.

又因為平面,所以平面平面.

(Ⅱ)解:方法一:(幾何法)過點,垂足為點,連接.

不妨設(shè),則.

因為平面,所以.

又因為底面是矩形,所以.

又因為,所以平面,所以A .

又因為,所以平面,所以

所以就是二面角的平面角.

中,由勾股定理得,

由等面積法,得,

又由平行線分線段成比例定理,得.

所以.所以.

所以.

所以二面角的正切值為.

方法二:(向量法)以, , 分別為, , 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

不妨設(shè),則由(Ⅱ)可得 .

又由平行線分線段成比例定理,得

所以,所以.

所以點 , .

, .

設(shè)平面的法向量為,則

,得平面的一個法向量為;

又易知平面的一個法向量為;

設(shè)二面角的大小為,則.

所以.所以二面角的正切值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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