Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，連接AC，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E．
（Ⅰ）證明：∠AOC=2∠ACD；
（Ⅱ）證明：AB•CD=AC•CE．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連結(jié)BC，由已知條件推導(dǎo)出∠ACD=∠ABC，∠OCB=∠ABC，由此能夠證明∠AOC=2∠ACD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，從而得到Rt△ABC∽Rt△CED，由此能夠證明AB•CD=AC•CE．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BC，∵CD是⊙O的切線，C為切點，
∴∠ACD=∠ABC，
∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，
∴∠AOC=2∠ACD．
（Ⅱ）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切線，C為切點，OC為半徑，
∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，
∴OC∥AD，又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，
∴Rt△ABC∽Rt△CED，∴

AB

CE

=

AC

CD

，
∴AB•CD=AC•CE．

點評：本題考查角相等的證明，考查線段乘積相等的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的靈活運用．