Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，f（x）為偶函數(shù)，且y=f（x）過點（2，5）．
（1）求f（x）解析式；
（2）求f（x）在[-2，1）的最大值和最小值；
（3）求證：f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x）恒成立，再利用待定系數(shù)法求解．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可．
（3）欲證f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，利用作差比較法，只須證明

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)≤0即可，將（1）中的函數(shù)解析式代入化簡即得．

解答：解：（1）由f（x）=x²+ax+b為偶函數(shù)，知f（-x）=f（x）．
即：（-x）²+a（-x）+b=x²+ax+b．
∴a=-a，解得a=0．
又y=f（x）過點（2，5），得4+b=5，b=1．
∴f（x）=x²+1．…（4分）
（2）由（1），當x=-2時，f（x）_max=5，當x=0時，f（x）_min=1．…（8分）
（3）證明：

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+1+x22+1

2

-(

x1+x2

2

)2-1．
=

x12+x22

2

-

(x1+x2)2

4

=

(x1-x2)2

4

≥0．
∴f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和求最值問題，還考查了恒成立問題以及待定系數(shù)法和配方法等常用的解題方法．屬于基礎(chǔ)題．