Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（{α為參數(shù)}）$．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=2$．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P為曲線C上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡已知條件，然后求解直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），利用P到直線l的距離公式得到表達(dá)式，然后求解最值．

解答 解：（1）$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=2$化簡為$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ+4=0$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y+4=0$；   …（4分）
（12）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），
得P到直線l的距離$d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosα-sinα+4}|}}{2}$，…（6分）
即$d=\frac{{|{\sqrt{13}cos（{α+φ}）+4}|}}{2}$，其中$cosφ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}，sinφ=\frac{1}{{\sqrt{13}}}$．
當(dāng)sin（α+φ）=1時，${d_{max}}=\frac{1}{2}\sqrt{13}+2$．  …（10分）．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．考查計算能力．