Question

（2013•唐山二模）已知動圓C經(jīng)過點（0，1），且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點M(0，

1

2

)的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為2

2

時，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出動圓圓心坐標，由動圓C經(jīng)過點（0，1）求出圓的半徑，利用圓在x軸上截得弦長為2列式整理即可得到曲線E的方程；
（Ⅱ）設出直線m的方程，設出A，B兩點的坐標，求導得到過A，B的拋物線的切線方程，利用拋物線定義求出AB長度，用點到直線距離公式求出C到AB的距離，寫出面積后由面積等于2

2

求出直線的斜率，從而求得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（x，y），則其半徑r=

x2+(y-1)2

．
依題意，r²-y²=1，即x²+（y-1）²-y²=1，
整理得曲線E的方程為x²=2y．
（Ⅱ）如圖，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=

1

2

x12，y₂=

1

2

x22．
設直線m方程為y=kx+

1

2

，代入曲線E方程，得
x²-2kx-1=0，則x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1．
對y=

1

2

x²求導，得y′=x．
于是過點A的切線為y=x₁（x-x₁）+

1

2

x12，即y=x₁x-

1

2

x12 ①
同理得過點B的切線為y=x₂x-

1

2

x22 ②
設C（x₀，y₀），由①、②及根與系數(shù)關系得
x₀=

x1+x2

2

=k，y₀=x₁x₀-

1

2

x12=-

1

2

．
M為拋物線的焦點，y=-

1

2

為拋物線的準線，由拋物線的定義，得
|AB|=y₁+

1

2

+y₂+

1

2

=k（x₁+x₂）+2=2（k²+1）．
點C到直線m的距離d=

|kx0-y0+ 1 2 |

1+k2

=

|k2+ 1 2 + 1 2 |

1+k2

=

k2+1

．
所以△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=（k²+1）

k2+1

．
由已知（k²+1）

k2+1

=2

2

，得k=±1．
故直線m的方程為y=±x+

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程，考查了數(shù)學轉化思想方法，解答此題的關鍵是利用拋物線的定義求解AB的長度，是難題．