Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且2PF=FA．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求證：CM∥平面BEF；
（3）求平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥PC．再利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明BE⊥平面PAC；
（2）取AF得中點Q，連接CQ，MQ．利用已知及三角形的中位線定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，即可得到面面平行：平面BEF∥平面CMQ，進而得到線面平行；
（3）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量即可得出．

解答：證明：（1）∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．
∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥BE．
又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．
（2）取AF得中點Q，連接CQ，MQ．
∵2PF=FA，∴點F為PQ的中點，
由三角形的中位線定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，
又CQ∩MQ=Q，∴平面BEF∥平面CMQ，
∴CM∥平面BEF．
（3）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），F(xiàn)(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．

BE

=(1，0，1)，

BF

=(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．
設(shè)平面BEF的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • BE =x+z=0 n • BF = 2 3 x+ 2 3 y+ 4 3 z=0

，令x=1，則z=-1，y=1．
∴

n

=（1，1，-1）．取平面ABC的法向量

m

=(0，0，1)．
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

-1

3

=-

3

3

．
∴平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值為

3

3

．

點評：本題綜合考查了線面平行與垂直、面面平行的判定與性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標系利用法向量得出二面角的方法、三角形的中位線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．