Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若﹣1＜x＜1時(shí)，均有f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）∪（1，+∞），

f′（x）= ，

當(dāng)﹣1＜x＜0或＞3時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，

所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（﹣1，0），（3，+∞），減區(qū)間為（0，1），（1，3）

（2）解：f′（x）= ，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1時(shí)，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．

當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x1= ，x2= ．

若0＜a＜1，此時(shí)0＜x1＜1，對(duì)0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．

若a＞1，此時(shí)﹣1＜x1＜0，對(duì)x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．

若a=1，由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值0，符合題意，

綜上實(shí)數(shù)a的取值為1

【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）∪（1，+∞）， 求出f′（x）= ，即可求單調(diào)區(qū)間；（2）f′（x）= ，
分（1）a≤0，（2）當(dāng)a＞0，討論單調(diào)性及最值即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．