Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）處切線的斜率k≤，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，若x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，證明：；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，若方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知，k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立，只需a≥（）max，
（Ⅱ）（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），利用作差法，判斷的正負(fù)號(hào)，進(jìn)行證明．
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即為x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，
設(shè)H（x）=x²-2mlnx-2mx，利用導(dǎo)數(shù)研究解決．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由題意k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立．，所以a≥（）max，當(dāng)x0=1時(shí)，
（）max=，∴a
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則=ln（1+e^x₁）+ln（1+e^x₂）-x₁-x₂-2[ln（1+）-]
=ln（1+e^x₁）（1+e^x₂）-ln（1+）²
=ln（1+e^x₁+e^x₂₊）-ln（1+2+e^x₁+x₂），
∵e^x₁＞0，e^x₂＞0，且x₁≠x₂，∴+e^x₁+e^x₂＞=2，
1+e^x₁+e^x₂₊）＞1+2+e^x₁+x₂），
ln（1+e^x₁+e^x₂₊）＞ln（1+2+e^x₁+x₂），
∴＞0
即；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即為x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，
設(shè)（x）=x²-2mlnx-2mx，則H′（x）=，令H′（x）=0，則x²-mx-m=0，m＞0，x＞0，∴＜0（舍去），，
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x₂時(shí)，H（x）取最小值H（x₂），則即兩式相減得2mlnx₂+mx₂-m=0，∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
設(shè)M（x）=2lnx+x-1，∵x＞0，M（x）是增函數(shù)，∴M（x）=0至多有一解．∵M(jìn)（1）=0，∴方程①的解為x₂=1，
即=1，解得m=．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與不等式綜合題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．