如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點P(x0，y0)(y0＞0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離；

(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

答案：
解析：

　　解：(1)當y＝時，x＝，

　　又拋物線y2＝2px的準線方程為x＝，由拋物線定義得，所求距離為－()＝．

　　(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，

　　由＝2px1，＝2px0，相減得

　　(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，

　　故kPA＝(x1≠x0)．

　　同理可得kPB＝(x2≠x0)．

　　由PA，PB傾斜角互補知kPA＝－kPB，

　　即＝－，

　　所以y1＋y2＝－2y0，

　　故＝－2．

　　設(shè)直線AB的斜率為kAB．

　　由＝2px2，＝2px1，相減得

　　(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)，

　　所以kAB＝(x1≠x2)．

　　將y1＋y2＝－2y0(y0＞0)代入得

　　kAB＝，所以kAB是非零常數(shù)．

　　思路分析：由已知求得拋物線的焦點F(，0)，容易求出第(1)問的答案為．在求第(2)問時，關(guān)鍵的步驟有兩個：一個是用“點差法”求直線PA和PB的斜率，另一個是兩條直線的傾斜角互補時，其斜率互為相反數(shù)．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過拋物線y2＝2PX(P>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1   

 

(Ⅰ)求證：FM1⊥FN1:

(Ⅱ)記△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面積分別為，試判斷S22＝4S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

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如圖，過拋物線y2＝2PX(P>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1   

 

(Ⅰ)求證：FM1⊥FN1:

(Ⅱ)記△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面積分別為S1、、S2、，S3，試判斷S22＝4S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過拋物線y2＝2PX(P>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1　　

(Ⅰ)求證：FM1⊥FN1:

(Ⅱ)記△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面積分別為S1、、S2、，S3，試判斷S22＝4S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。 　

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河南省鎮(zhèn)平一高高三下學期第四次周考文科數(shù)學試卷 題型：選擇題

如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若｜BC｜=2｜BF｜，且｜AF｜＝3，則此拋物線的方程為

    A．y2=9x        B．y2=6x

    C．y2=3x    D．y2=x

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年浙江省杭州市七校聯(lián)考高二下學期期中考試數(shù)學（理） 題型：選擇題

如圖，過拋物線y2＝2px（p>0）的焦點F的直線交拋物線

于點A、B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，

則此拋物線的方程為                        (     )

    A．y2＝3x  B．y2＝6x   C．y2＝9x     D．y2＝

 

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