Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點P（3，2）．

（1）求橢圓C`的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)與直線OP（O為坐標(biāo)原點）平行的直線交橢圓C于A，B兩點，求證：直線PA，PB與軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）由題意可得a2=18，b=3．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)直線l的方程為2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），將直線方程代入橢圓方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得kAP+kBP=0，則kAP=﹣kBP，即直線PA，PB與軸圍成一個等腰三角形．

詳解：（1）由題意可得：，=1，a2=b2+c2，聯(lián)立解得：a2=18，b=3．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

（2）設(shè)直線l的方程為2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線方程代入橢圓方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，

△＞00＜|t|＜12，

∴，，

∵kAP+kBP=+=，

∴分子=（x2﹣3）+

=+（x1+x2）﹣2t+12=+﹣2t+12=0，

∴kAP+kBP=0，∴kAP=﹣kBP，∴直線PA、PB與x軸所成的銳角相等，故圍成等腰三角形．