Question

已知函數(shù)（a是常數(shù)）．
（1）若常數(shù)a＜2且a≠0，求f（x）的定義域；
（2）若常數(shù)0＜a＜2，且知f（x）在區(qū)間（2，4）上是增函數(shù)，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由可知，
①當(dāng)a＜0時，
解得：
x＜，或x＞1
∴函數(shù)的定義域為；
②當(dāng)0＜a＜2時，
解得：
1＜x＜，
∴函數(shù)的定義域為．
（2）令，
則減函數(shù)，
∴在（2，4）上是減函數(shù)，
則：
故a的取值范圍為（0，]
分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0，可以構(gòu)造分式不等式，進(jìn)而根據(jù)常數(shù)a＜2且a≠0，及分式不等式的解法，分a＜0時和0＜a＜2時兩種情況分類討論，即可得到答案；
（2）由已知中f（x）在區(qū)間（2，4）上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定原則，我們易判斷出在（2，4）上是減函數(shù)，結(jié)合（1）中結(jié)論，我們易構(gòu)造出關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的定義域，分式不等式的解法，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0，構(gòu)造分式不等式，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定原則，得到在（2，4）上是減函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于a的不等式組．本題（2）易忽略對數(shù)的真數(shù)大于0的同，而錯解為0＜a＜2．