Question

7．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）；
（1）當k=1，m=0或1時，求AB的長；
（2）當k=1，m為任何值時，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想；
（3）當m=0，無論k為何值時，猜想△AOB的形狀，并證明你的猜想．
（平面內(nèi)兩點間的距離公式AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）．

Answer 1

分析 （1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數(shù)的解析式為y=x²，直線的解析式為y=x+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-x-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得出AB=$\sqrt{2}$AC，根據(jù)兩點間距離公式及完全平方公式求出AB=$\sqrt{10}$；同理，當k=1，m=1時，AB=$\sqrt{10}$；
（2）當k=1，m為任何值時，由y=x+1與y=x²-2mx+m²+m，聯(lián)立得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，同（1）可求出AB=$\sqrt{10}$；
（3）當m=0，k為任意常數(shù)時，分三種情況討論：①當k=0時，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，得A（-1，1），B（1，1），顯然△AOB為直角三角形；②當k=1時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-x-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，同（1）求出AB=$\sqrt{10}$，則AB²=10，運用兩點間的距離公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形；③當k為任意實數(shù)時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根據(jù)兩點間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形．

解答 解：（1）當k=1，m=0時，如圖．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得x²-x-1=0，∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C．
∵直線AB的解析式為y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\sqrt{10}$；
同理，當k=1，m=1時，AB=$\sqrt{10}$；…（4分）
（2）猜想：當k=1，m為任何值時，AB的長不變，即AB=$\sqrt{10}$．理由如下：
由y=x+1與y=x²-2mx+m²+m，聯(lián)立得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\sqrt{10}$；…（6分）
（3）當m=0，k為任意常數(shù)時，△AOB為直角三角形，理由如下：
①當k=0時，則函數(shù)的圖象為直線y=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，得A（-1，1），B（1，1），顯然△AOB為直角三角形；…（7分）
②當k=1時，則一次函數(shù)為直線y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-x-1=0，∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\sqrt{10}$，∴AB²=10，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²=x₁²+x₂²+（x₁+1）²+（x₂+1）²
=x₁²+x₂²+（x₁²+2x₁+1）+（x₂²+2x₂+1）=2（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+2
=2（1+2）+2×1+2=10，
∴AB²=OA²+OB²，∴△AOB是直角三角形；…（10分）
③當k為任意實數(shù)，△AOB仍為直角三角形．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB為直角三角形．…（13分）

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平面內(nèi)兩點間的距離公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定難度．本題對式子的變形能力要求較高，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想．