(本題滿分18分,第(1)小題6分,第(2)小題6分,第(3)小題6分)

若數(shù)列滿足:是常數(shù)),則稱數(shù)列為二階線性遞推數(shù)列,且定義方程為數(shù)列的特征方程,方程的根稱為特征根; 數(shù)列的通項(xiàng)公式均可用特征根求得:

①若方程有兩相異實(shí)根,則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成,(其中是待定常數(shù));

②若方程有兩相同實(shí)根,則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成,(其中是待定常數(shù));

再利用可求得,進(jìn)而求得

根據(jù)上述結(jié)論求下列問題:

(1)當(dāng),)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng),)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)當(dāng),)時(shí),記,若能被數(shù)整除,求所有滿足條件的正整數(shù)的取值集合.

(Ⅰ)    (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

(1)由可知特征方程為:

, …………………3分

所以 設(shè)  ,由得到

所以   ; …………………6分

(2)由可以得到

設(shè),則上述等式可以化為:…………………8分

,所以對(duì)應(yīng)的特征方程為:

,…………………10分

所以令   ,由可以得出

所以…………………11分

即  …………………12分

(3)同樣可以得到通項(xiàng)公式………14分

所以

 

即     …………………14分

即   ,…………………16分

因此除以的余數(shù),完全由除以的余數(shù)確定,

因?yàn)?img width=43 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/177/414177.gif">  所以 

,,

,,

,

,,

由以上計(jì)算及可知,數(shù)列各項(xiàng)除以的余數(shù)依次是:

它是一個(gè)以為周期的數(shù)列,從而除以的余數(shù)等價(jià)于除以的余數(shù),所以,

即所求集合為:…………………18分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)

在平行四邊形中,已知過點(diǎn)的直線與線段分別相交于點(diǎn)。若。

(1)求證:的關(guān)系為;

(2)設(shè),定義函數(shù),點(diǎn)列在函數(shù)的圖像上,且數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,為原點(diǎn),令,是否存在點(diǎn),使得?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。

(3)設(shè)函數(shù)上偶函數(shù),當(dāng)時(shí),又函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 當(dāng)方程上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆上海市崇明中學(xué)高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),使得對(duì)任意的)都有成立,那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列,的最小值稱作數(shù)列的最小正周期,以下簡稱周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列,當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。
(1)設(shè)數(shù)列滿足),不同時(shí)為0),且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,求常數(shù)的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且
①若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說明理由;
②若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說明理由;
(3)設(shè)數(shù)列滿足),,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,試問是否存在,使對(duì)任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在,   說明理由;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年上海市高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)

對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),使得對(duì)任意的)都有成立,那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列,的最小值稱作數(shù)列的最小正周期,以下簡稱周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列,當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。

    (1)設(shè)數(shù)列滿足),不同時(shí)為0),且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,求常數(shù)的值;

    (2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且

①若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說明理由;

②若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說明理由;

    (3)設(shè)數(shù)列滿足),,,,數(shù)列 的前項(xiàng)和為,試問是否存在,使對(duì)任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在,    說明理由;

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年上海市十三校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題文科數(shù)學(xué) 題型:解答題

  (本題滿分18分,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分)

已知函數(shù),其中.

(1)當(dāng)時(shí),設(shè),,求的解析式及定義域;

(2)當(dāng)時(shí),求的最小值;

(3)設(shè),當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷(文) 題型:解答題

(本題滿分18分;第(1)小題5分,第(2)小題5分,第(3)小題8分)

設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為,若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(1)若,求證:該數(shù)列是“封閉數(shù)列”;

(2)試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”,為什么?

(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,若公差,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使;若存在,求的通項(xiàng)公式,若不存在,說明理由.

 

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