Question

已知F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，記點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若過點(diǎn)F₂的直線l交軌跡E于P、Q兩不同點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)M（-1，0），問：當(dāng)直線l繞點(diǎn)F₂轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，是否都有•=0？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，知c=2，a=1，b²=3，由此能求出點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）若l的斜率存在，設(shè)l的方程為：y=k（x-2），由，得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由l與曲線交于不同點(diǎn)P，Q，知，由此入手導(dǎo)出；若直線l的斜率存在，則P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），故成立．所以當(dāng)直線l繞點(diǎn)F₂旋轉(zhuǎn)時(shí)，均有得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，
∴c=2，a=1，b²=3，
∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為：．
（2）①若l的斜率存在，設(shè)l的方程為：y=k（x-2），
由，消y得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∵l與曲線交于不同點(diǎn)P，Q，
∴，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，
，
∵M(jìn)（-1，0），
∴
=（k²+1）x₁x₂-（2k²-1）（x₁+x₂）+1+4k²=0．
②若直線l的斜率存在，則P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），
∴成立，
故當(dāng)直線l繞點(diǎn)F₂旋轉(zhuǎn)時(shí)，均有．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，探索當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，是否都有向量的數(shù)量積為零．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．