4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的漸近線與圓x2+（y-2）2=1相交，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�
A．（$\sqrt{3}$，+∞）B．（1，$\sqrt{3}$）C．（2．+∞）D．（1，2）

分析 先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離小于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c2=a2+b2求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．

解答 解：∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓x2+（y-2）2=1相交
∴圓心到漸近線的距離小于半徑，即$\frac{2a}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$＜1
∴3a2＜b2，
∴c2=a2+b2＞4a2，
∴e=$\frac{c}{a}$＞2
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式等．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．

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A．$\frac{4π}{3}$B．$\frac{8π}{3}$C．4πD．2π

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