Question

（本題滿分12分）如圖，橢圓的一個 焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，若直線繞點F任意轉(zhuǎn)動，恒有, 求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（，+）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體解法是先確定焦點的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于A、B坐標關(guān)系；本題采用兩種不同的直線設(shè)法，注意討論相應(yīng)的情況.

試題解析：解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，

所以, 即1＝

因此，橢圓方程為

(Ⅱ)設(shè)

(ⅰ)當直線 AB與x軸重合時，

(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時，設(shè)直線AB的方程為：

整理得

所以

因為恒有，所以AOB恒為鈍角.

即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對mR恒成立.

當mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,

因為a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）【解析】
（i）當直線l垂直于x軸時，

x=1代入=1.

因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2) <4 yA2, yA2>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）當直線l不垂直于x軸時，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.

設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,

故x1+x2=

因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,

得x1x2+ y1y2<0恒成立.

x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

=(1+k2).

由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對kR恒成立.

①當a2- a2 b2+b2>0時，不合題意；

②當a2- a2 b2+b2=0時，a=;

③當a2- a2 b2+b2<0時，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）

考點：橢圓的綜合應(yīng)用