Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，=（S_n，1），=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），⊥．
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若，且存在n，對(duì)于任意的k（k∈N₊），不等式成立，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式得到數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可證得結(jié)論；
（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用b_n+1≥b_n，確定n的范圍，由此可得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵=（S_n，1），=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），⊥．
∴
∴
兩式相減可得，∴=-1
∴-=-1
∴數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）解：∵n=1時(shí)，，∴a₁=-4，∴
∴=-2-（n-1）=-（n+1），
∴=（2011-n）×2ⁿ，
令b_n+1≥b_n，則（2010-n）×2ⁿ⁺¹≥（2011-n）×2ⁿ，∴n≤2009
∴當(dāng)1≤n＜2009時(shí)，b_n+1＞b_n，當(dāng)n=2009時(shí)，b_n=b_n+1
當(dāng)n＞2009時(shí)，b_n+1＜b_n∴b₁＜b₂＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀＞b₂₀₁₁＞…
∴n=2009或2010．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積，考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明．考查數(shù)列的通項(xiàng)，正確求通項(xiàng)是關(guān)鍵．