Question

7．如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BD不經(jīng)過點(diǎn)O，AC平分∠BAD，經(jīng)過點(diǎn)C的直線分別交AB、AD的延長線于E、F，且CD²=AB•DF．
（1）△ABC～△CDF；
（2）EF是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）先證明BC=CD，利用CD²=AB•DF，可得$\frac{BC}{DF}$=$\frac{AB}{CD}$，由四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，可得∠ABC=∠CDF，即可證明△ABC～△CDF；
（2）證明OC⊥EF，即可證明EF是⊙O的切線．

解答 證明：（1）∵AC平分∠BAD，
∠BAC=∠CAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD，
∵CD²=AB•DF，
∴BC•CD=AB•DF，
∴$\frac{BC}{DF}$=$\frac{AB}{CD}$，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠CDF，
∴△ABC～△CDF；
（2）連接OC，
∵△ABC～△CDF，
∴∠BAC=∠DCF，
∵∠BDC=∠DCF，
∴∠BDC=∠DCF，
∴EF∥BD，
∵BC=CD，BD不經(jīng)過點(diǎn)O，
∴OC⊥BD，
∴OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切線．

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的判定，考查圓的切線的證明，考查相似分析解決問題的能力，屬于中檔題．