如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)
求證：（1）AC1∥平面B1CD；
（2）DB1與平面BCC1B1所成角的正切值．

證明：（1）設(shè)BC1交B1C與E，連接DE．
∵E，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，
∴DE∥AC1，又DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD；
（2）取BC中點(diǎn)F，連DF，B1F
∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴CC1⊥AC
又AC=3，BC=4，AB=5知AC⊥BC∴AC⊥面BCC1B1
又F為BC中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)∴DF∥AC
∴DF⊥面BCC1B1
∴DB1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為FB1
∴DB1與平面BCC1B1的所成角為∠DB1F．
在RT△FB1B中，B1B=4，BF=2，
∴B1F=2，
又DF=
∴在RT△DFB1中，tan∠DB1F===．
分析：（1）設(shè)BC1交B1C與E，連接DE，通過證明AC1與平面B1CD內(nèi)的直線DE證得，利用三角形中位線性質(zhì)．
（2）取BC中點(diǎn)F，連DF，B1F，∠DB1F為DB1與平面BCC1B1所成角．在直角△DB1F中求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考試題數(shù)學(xué)理（四川卷）解析版 題型：解答題

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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