Question

已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)是雙曲線的一個頂點(diǎn)．

（1）求雙曲線的方程；

（2）經(jīng)過的雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為30°直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),求的長．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論．

 

試題解析：（1）∵雙曲線的離心率為，點(diǎn)是雙曲線的一個頂點(diǎn)，

∴，解得，

∴雙曲線的方程為．

（2）雙曲線的右焦點(diǎn)為，

∴經(jīng)過的雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為30°直線的方程為，

聯(lián)立，得，設(shè)，則，．

所以．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．