Question

已知雙曲線的離心率等于2，且與橢圓有相同的焦點，
（1）求橢圓的離心率；　
（2）求此雙曲線方程．

Answer 1

解：（1）橢圓的a₁=5，b₁=3，
∴c==4，
得出橢圓的離心率e=．
（2）∵橢圓的焦點坐標為（-4，0）和（4，0），
則可設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），
∵c=4，又雙曲線的離心率等于2，即=2，
∴a=2．
∴b²=c²-a²=12；
故所求雙曲線方程為．
分析：（1）由橢圓的性質(zhì)，可得橢圓的a₁=5，b₁=3，根據(jù)c=求出c，即可得出橢圓的離心率，
（2）由橢圓的性質(zhì)，可得橢圓的焦點坐標，設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則可得c=4，又由雙曲線的離心率可得a的值，進而可得b，將a、b的值代入雙曲線方程可得答案．
點評：本題考查雙曲線的標準方程以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，注意區(qū)分并記憶橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)及標準方程的形式．