在△ABC中，，若O為△ABC的垂心，則的值為    ．
【答案】分析：作出邊AC的垂線，利用余弦定理求出cosA的值，利用向量的數(shù)量積的幾何意義將向量的數(shù)量積表示成一個(gè)向量與另個(gè)向量的投影的乘積．
解答：解：∵O為△ABC的垂心，過O作OD⊥AC于D，
則cosA=，
AD=ABcosA=，
∴==AC•AD=3×．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查向量的運(yùn)算法則、向量數(shù)量積的幾何意義以及三角形的五心，以及學(xué)生分析解決問題的能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆安徽省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、

PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用，以及線面角的求解的綜合運(yùn)用

第一問中，利用連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二問中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF．

第三問中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

證：連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn)  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

在△ABC中，數(shù)學(xué)公式，若O為△ABC的垂心，則數(shù)學(xué)公式的值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖北省潛江中學(xué)高三數(shù)學(xué)滾動(dòng)訓(xùn)練20（理科）（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，，若O為△ABC的垂心，則的值為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江西省贛州十一縣（市）2010屆下學(xué)期高三期中聯(lián)考（理） 題型：填空題

 在△ABC中，，若O為△ABC的垂心，則的值為     　　　　.

 

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