Question

如果直線y=kx+1與x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，若P（a，b）為平面區(qū)域

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

內(nèi)任意一點(diǎn)，則

b+1

a-1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先由條件求出k=1，m=-1，再畫出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，把

b+1

a-1

看成平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（1，-1）連線的斜率，利用圖形可得結(jié)論．

解答：解：∵直線y=kx+1與x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn)，
且M、N關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，
∴直線y=kx+1與直線x+y=0垂直且直線x+y=0過x²+y²+kx+my-4=0的圓心．
∴k=1，m=-1
∴點(diǎn)P（a，b）所在平面區(qū)域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

，如圖
又因?yàn)?span id="kek2acq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

b+1

a-1

表示點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（1，-1）連線的斜率．
故當(dāng)過點(diǎn)B（-1，0）時(shí)，

b+1

a-1

取最大值-

1

2

．
當(dāng)過A（-

1

2

，

1

2

）或O（0，0）時(shí)，

b+1

a-1

取最小值-1．
故答案為[-1，-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是簡單的線性規(guī)劃與直線和直線以及直線與圓的位置關(guān)系的一道綜合題，是隊(duì)知識(shí)的綜合考查．利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點(diǎn)與（1，-1）的斜率．