Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

（I）求a₂，a₃；
（II）設bn=a2n-2，n∈N*，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}前20項中所有奇數(shù)項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用數(shù)列的遞推公式，分別令n=1，2依次計算可求得a₂，a₃
（II）利用等比數(shù)列的定義證出

bn+1

bn

是一個與n無關的常數(shù)即可．
（Ⅲ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，先將數(shù)列{a_n}前20項中所有奇數(shù)項轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項，再結合相關的求和方法計算．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，得a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

，令n=2，得a₃=a₂-4=-

5

2

．
（II）b₁=a₂-2=-

1

2

，且

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1+(2n+1)-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-2×2n)+2n-1

a2n-2

=

1

2

，是一個與n無關的常數(shù)．
 所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其通項公式b_n=-(

1

2

)n
（Ⅲ）由（II）可得a_2n=2+b_n．
數(shù)列{a_n}前20項中所有奇數(shù)項的和S=a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=a₁+

1

2

(a2-2×1)+

1

2

(a4-2×2)+…+

1

2

(a18-2×18)=1-（1+2+4+…18）+

1

2

（a₂+a₄+…a₁₈）
=-90+

1

2

（2+b₁+2+b₂+…2+b₉）=-90+

1

2

（18+

- 1 2 (1- 1 29 )

1- 1 2

）=-90+9-

1

2

+

1

210

=

1

210

-

163

2

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的判定，數(shù)列求和．考查邏輯思維、轉(zhuǎn)化、計算論證能力．