Question

某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)．
（Ⅰ）求在抽檢的6件產(chǎn)品中恰有一件二等品的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值；
（Ⅲ）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率．

Answer 1

分析：（I）在抽檢的6件產(chǎn)品中恰有一件二等品包含兩種情形：一是從第二箱中取出的二等品，二是從第三箱中取出的二等品，分別求出它們的概率，最后利用互斥事件的加法公式進(jìn)行相加即可．
（II）由取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品可知變量ξ的取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件做出這四個(gè)事件發(fā)生的概率，寫出分布列和期望．
（III）由上一問做出的分布列可以知道，P（ξ=2），P（ξ=3），這兩個(gè)事件是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．

解答：解析：（Ⅰ）在抽檢的6件產(chǎn)品中恰有一件二等品的概率為：
P(ξ=1)=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

12

25

（3分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3．（4分）
P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 3

C 2 5

=

18

100

=

9

50

；
P(ξ=1)=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

12

25

；
P(ξ=2)=

C 1 4

C 2 5

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

+

C 2 4

C 2 5

•

C 2 2

C 2 5

=

15

50

=

3

10

；
P(ξ=3)=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 2

C 2 5

=

1

25

．（7分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	9 50	12 25	3 10	1 25

（8分）
E(ξ)=0×

9

50

+1×

12

25

+2×

3

10

+3×

1

25

=

6

5

（9分）
（Ⅲ）所求的概率為P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

15

50

+

1

25

=

17

50

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大．