Question

16．已知圓O：x²+y²=16，圓O與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的圓的切線為l，P是圓上異于A，B的一點(diǎn)，PH垂直于x軸，垂足為H，E是PH的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP，AE分別交l于F，C．
（1）若點(diǎn)$P（-2，\;2\sqrt{3}）$，求以FB為直徑的圓M的方程，并判斷P是否在圓M上；
（2）當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先確定直線AP的方程為y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-4）$，求得F（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），確定直線AE的方程為y=$-\frac{\sqrt{3}}{6}（x-4）$，求得C（-4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），由此可得圓的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則E（x₀，$\frac{{y}_{0}}{2}$），求得直線AE的方程，進(jìn)而可確定直線PC的斜率，由此即可證得直線PC與圓O相切．

解答 （1）解：由$P（-2，\;2\sqrt{3}）$，A（4，0），得
直線AP的方程為y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-4）$，
令x=-4，得F（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），
由E（-2，$\sqrt{3}$），A（4，0），則直線AE的方程為y=$-\frac{\sqrt{3}}{6}（x-4）$，
令x=-4，得C（-4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴C為線段FB的中點(diǎn)，以FB為直徑的圓恰以C為圓心，半徑等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴圓M的方程為$（x+4）^{2}+（y-\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}=\frac{16}{3}$，且P在圓上；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則E（x₀，$\frac{{y}_{0}}{2}$），則直線AE的方程為y=$\frac{{y}_{0}（x-4）}{2（{x}_{0}-4）}$，
在此方程中令x=-4，得C（-4，$-\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$），
直線PC的斜率為$\frac{{y}_{0}+\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}}{{x}_{0}+4}=\frac{{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-16}$=$-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
若x₀=0，則此時(shí)PC與y軸垂直，即PC⊥OP；
若x₀≠0，則此時(shí)直線OP的斜率為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}•（-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}）=-1$，
∴PC⊥OP．
∴直線PC與圓O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑，利用斜率關(guān)系確定直線與圓相切，是中檔題．