Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量m=（2sinB，2-cos2B），n=（1+sinB，-1），且m⊥n．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若△ABC不是鈍角三角形，且a=

3

，b=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由兩向量垂直時(shí)滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，求出sinB的值，即可確定出角B的大��；
（Ⅱ）法1：由三角形不為鈍角三角形，求出B的度數(shù)，再由a與b的值，利用正弦定理求出sinA的值，確定出A的度數(shù)，進(jìn)而得到C為直角，即可求出三角形ABC面積；法2：由三角形不為鈍角三角形，求出B的度數(shù)，利用余弦定理求出c的值，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

，
∴2sinB+2sin²B+cos2B-2=2sinB+2sin²B-2sin²B+1-2=0，即sinB=

1

2

，
∵B為三角形內(nèi)角，
∴B=

π

6

或

5π

6

；
（Ⅱ）法1：∵△ABC不是鈍角三角形，
∴B=

π

6

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
∴A=

π

3

，即C=

π

2

，
則S_△ABC=

1

2

ab=

3

2

；
法2：∵△ABC不是鈍角三角形，
∴B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=3+c²-3c，
∴c=1或c=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)c=1時(shí)，△ABC是鈍角三角形，不符合題意，舍去，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及余弦定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．