(2012•香洲區(qū)模擬)已知橢圓C的焦點在x軸上,中心在原點,離心率e=
3
3
,直線l:y=x+2與以原點為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切.
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A1,A2,點M是橢圓上異于Al,A2的任意一點,設(shè)直線MA1,MA2的斜率分別為kMA1,kMA2,證明kMA1kMA2為定值.
分析:(I)設(shè)橢圓的方程,利用離心率e=
3
3
,直線l:y=x+2與以原點為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切,確定幾何量,從而可得橢圓的方程;
(Ⅱ)利用M點在橢圓上,計算斜率,化簡即可得到結(jié)論.
解答:(I)解:設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵離心率e=
3
3
,∴a2=3c2,∴b2=2c2
∵直線l:y=x+2與以原點為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切
∴b=
2
2
=
2

∴c2=1
∴a2=3
∴橢圓的方程為
x2
3
+
y2
2
=1
;
(Ⅱ)證明:由橢圓方程得A1(-
3
,0),A2
3
,0),
設(shè)M點坐標(biāo)(x0,y0),則
x02
3
+
y02
2
=1

y02=
2
3
(3-x02)

kMA1kMA2=
y0
x0+
3
×
y0
x0-
3
=
y02
x02-3
=
2
3
(3-x02)
x02-3
=-
2
3

kMA1kMA2是定值-
2
3
是定值.
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查斜率的計算,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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9
a2a3
+
9
a3a4
+
9
a4a5
+…+
9
a2012a2013
=( 。

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(2012•香洲區(qū)模擬)已知向量
a
,
b
滿足|
a
|=1,|
b
|=
2
a
b
=1
,則
a
b
的夾角為( 。

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m
=(-2sinx,-1),
n
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,定義f(x)=
m
n

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