Question

20．設(shè)p：函數(shù)f（x）=log₂（ax²-x+a）的值域?yàn)镽，q：（log₂x）²-4log₂x+a+2≥0對(duì)x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，若p且q為假，p或q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q中a的取值，然后判斷p，q的真假情況，根據(jù)p，q的真假情況，即可求出a的取值范圍．

解答 解 由p令u=ax²-x+a①當(dāng)a=0時(shí)，u=-x值域?yàn)镽符合題意，
②$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$ 綜上所述，當(dāng)p為真命題是a的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$]
由q：（log₂x）²-4log₂x+a+2≥0對(duì)x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，
令t=log₂x，t∈[-2，0]，所以a+2≥0，即a≥-2
當(dāng)p為真命題，q為假命題時(shí)，則a∈∅
當(dāng)p為假命題，q為真命題時(shí)，則a∈[-2，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
綜上，a的范圍為[-2，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題函數(shù)的值域函數(shù)恒成立的問題，p或q，p且q的真假情況，換元是關(guān)鍵，屬于中檔題．