Question

【題目】已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．

（1）若，求的值；

（2）若記f（θ）=，θ∈[0，]．當1≤λ≤2時，求f（θ）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）1 ； （2）--1.

【解析】

（1）根據向量的坐標運算和向量的模以及兩角和差即可求出答案；

（2）根據向量的數量積和二倍角公式化簡得到f（θ）＝2cos2（θ）﹣2λcos（θ）﹣1，令t＝cos（θ），根據二次函數的性質即可求出．

（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），

∴-=（cosθ-cosβ，sinθ-sinβ），

∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，

∴|-|=1；

（2）=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），

∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），

∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1

令t=cos（θ-），則t∈[，1]，

∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，

又1≤λ≤2，≤≤1，

∴t=時，f（t）有最小值--1，

∴f（θ）的最小值為--1．