Question

（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.第一問，連結(jié)AC1，CB1，取中點(diǎn)，連結(jié)、，由于△ACC1和△B1CC1皆為正三角形，所以CC1⊥OA，CC1⊥OB1，所以利用線面垂直的判定，得到CC1⊥平面OAB1，再利用線面垂直的性質(zhì)得到CC1⊥AB1；第二問，利用向量法，利用第一問的相互垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的的坐標(biāo)及相應(yīng)向量的坐標(biāo)，求出平面CAB1和平面A1AB1的法向量，再利用夾角公式求出，最后判斷出二面角是鈍角還是銳角.

試題解析：（Ⅰ）證明：連AC1，CB1，則△ACC1和△B1CC1皆為正三角形．

取CC1中點(diǎn)O，連OA，OB1，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，則CC1⊥平面OAB1，則CC1⊥AB1． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以O(shè)A⊥OB1．如圖所示，分別以O(shè)B1，OC1，OA為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， 6分

設(shè)平面CAB1的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 因?yàn)?/p>

，，

所以，取m＝(1，－，1)． 8分

設(shè)平面A1AB1的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 因?yàn)?/p>

，，

所以，取n＝(1，0，1)． 10分

則，因?yàn)槎�面角C-AB1-A1為鈍角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值為． 12分

考點(diǎn)：線線垂直、線面垂直、二面角.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：空間向量與立體幾何 試題屬性

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